离散型随机变量&pmf

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748 字

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4 分钟

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1. 退化/单点分布

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2. 伯努利分布

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3. 二项分布

n 次独立伯努利试验，每次成功概率为 p，失败概率为 1-p，$p\in [0,1]$，随机变量 X 表示 n 次试验中成功的总次数，其中 $n\in {\mathbb{N}}^{+}$

$$X\sim B(n,p)$$

支持集 $k=0,1,2,\dots ,n$.

概率质量函数 (pmf)

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,\dots ,n$$

期望&方差

$$\mathbb{E}[X]=np$$$$\mathrm{Var}(X)=np(1-p)$$

4. 超几何分布

设总体大小为 N，其中包含 K 个成功个体（其余 N-K 个为失败）从中不放回地随机抽取 n 个个体，随机变量 X 表示抽取的 n 个个体中成功个体的个数。

$$X\sim \text{H}(N,K,n)$$

支持集 $k$ 满足 $max(0,n-(N-K))\le k\le min(n,K)$.

概率质量函数 (PMF)

$$P(X=k)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-K}{n-k})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})}$$

期望&方差

$$\mathbb{E}[X]=n\cdot \frac{K}{N}$$$$\mathrm{Var}(X)=n\cdot \frac{K}{N}\cdot \frac{N-K}{N}\cdot \frac{N-n}{N-1}$$

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5. 泊松分布

参数：λ > 0，随机变量 X 表示在固定时空事件发生的次数

$$X\sim \text{Pois}(\lambda )$$

支持集 $k=0,1,2,\dots$

概率质量函数 (PMF)

$$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!},k=0,1,2,\dots$$

期望&方差

$$\mathbb{E}[X]=\lambda$$$$\mathrm{Var}(X)=\lambda$$

矩母函数 (MGF)

$$M_X(t)=\exp (\lambda (e^t-1))$$

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6. 几何分布

设每次试验成功的概率为 p∈(0,1]，失败概率为 q=1−p。随机变量 X 表示取得第一次成功所需的试验次数。

支持集：k=1,2,3,…

$$X\sim G(p)$$

• 几何分布的pmf：

$$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p,k=1,2,3,\dots$$

• 期望和方差：

$$\mathbb{E}[X]=\frac{1}{p}$$$$\mathrm{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2}$$

有时几何分布定义为在第一次成功之前失败的次数 Y（此时 Y=X−1）。

支持集：k=0,1,2,…

• 几何分布的pmf：

$$P(Y=k)=(1-p{)}^{k}p,k=0,1,2,\dots$$

• 期望和方差：

$$\mathbb{E}[Y]=\frac{1-p}{p}$$$$\mathrm{Var}(Y)=\frac{1-p}{p^2}$$

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7. 帕斯卡分布

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8. 负二项分布

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连续型随机变量&pdf

1. 均匀分布

X~U(a,b)

$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{b-a}}& \text{for }a\le x\le b\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

2. 正态分布

• $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$
• 性质：$\mathrm{\Phi }(0)=0.5$

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }$$

• 1805-年勒让德首创最小二乘法计算彗星轨道
• 1809-高斯发现误差分布服从的规律——正态分布。并且拿最小二乘法验证。

3. 指数分布

$$X\sim \text{Exp}(\lambda )$$$$f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x},x\ge 0$$$$\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda }$$$$\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$$

4. 埃尔朗分布

5. Γ(Gamma)分布

随机变量 X 表示直到第α个事件发生所需等待时间（形状参数α > 0，速率参数β > 0）

$$X\sim \text{Gamma}(\alpha ,\beta )$$

支持集 $x>0$.

概率密度函数 (PDF)

$$f_X(x)=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x},x>0$$

其中 $\mathrm{\Gamma }(\alpha )={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{\alpha -1}{e}^{-t}dt$ 是Gamma函数.

期望&方差

$$\mathbb{E}[X]=\frac{\alpha }{\beta }$$$$\mathrm{Var}(X)=\frac{\alpha }{{\beta }^2}$$

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